基本初等函数导数公式的推导

利用导函数的定义，对基本初等函数的导数进行推导，借此加强记忆与理解。ΔΔΔ

定义式：$ f’(x)=\lim\limits_{Δx \to 0}\frac{f(x+Δx)-f(x)}{Δx} $

常函数

函数：$ y = C $

导数：$ y’ = (C)’=0 $

推导过程：
$$
\begin{align*}\label{…}
\begin{split}
y’ =& \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\
=& \lim_{\Delta x \to 0}\frac{C-C}{\Delta x}\
=& \ 0
\end{split}
\end{align*}
$$

幂函数

函数：$ y=x^α $

导数：$ y’=(x^α)’=\alpha x^{\alpha -1} $

推导过程：
$$
\begin{align*}
\begin{split}
y’ =& \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\
=& \lim_{\Delta x \to 0}\frac{(x+\Delta x)^\alpha -x^\alpha}{\Delta x}\
=& \lim_{\Delta x \to 0}\frac{(C_{\alpha}^{0}x^\alpha+C_{\alpha}^{1}x^{\alpha-1}\Delta x+C_{\alpha}^{2}x^{\alpha-2}\Delta x^2+…+C_{\alpha}^{\alpha}\Delta x^\alpha)-x^\alpha}{\Delta x}\
=& \lim_{\Delta x \to 0}\frac{x^\alpha+\alpha x^{\alpha-1}\Delta x+\frac{\alpha(\alpha -1)}{2}x^{\alpha-2}\Delta x^2+…+\Delta x^\alpha-x^\alpha}{\Delta x}\
=& \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\alpha x^{\alpha-1}\Delta x+\frac{\alpha(\alpha -1)}{2}x^{\alpha-2}\Delta x^2+…+\Delta x^\alpha}{\Delta x}\
=& \lim_{\Delta x \to 0}\left(\alpha x^{\alpha-1}+\frac{\alpha(\alpha -1)}{2}x^{\alpha-2}\Delta x+…+\Delta x^{\alpha -1}\right)\
=& \ \alpha x^{\alpha-1}
\end{split}
\end{align*}
$$

利用二项式定理即可得出公式.

指数函数

函数：$ y=a^x $

导数：$ y’=(a^x)’=a^x\ln{a} $

推导过程：
$$
\begin{align*}
\begin{split}
y’ =& \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\
=& \lim_{\Delta x \to 0}\frac{a^{x+\Delta x}-a^{x}}{\Delta x}\
=& \lim_{\Delta x \to 0}\frac{a^x\left(a^{\Delta x}-1\right)}{\Delta x}\
=& \lim_{\Delta x \to 0}\frac{a^x\left(\Delta x\ln a\right)}{\Delta x}\
=& \lim_{\Delta x \to 0}a^x\ln a\
=& \ a^x\ln a
\end{split}
\end{align*}
$$

使用等价无穷小将$ a^{\Delta x}-1 $替换为$ \Delta x\ln a $即可得出公式.

特别地，当 $ a = e $ 时，$ y’ = (e^x)’=e^x $.

对数函数

函数：$ y=\log_{a}{x} $

导数：$ y’=\left(\log_{a}{x}\right)’=\frac{1}{x\ln a} $

推导过程：
$$
\begin{align*}
\begin{split}
y’ =& \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\
=& \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\log_a{\left(x+\Delta x\right)-\log_ax}}{\Delta x}\
=& \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\log_a{\frac{x+\Delta x}{x}}}{\Delta x}\
=& \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\log_a{\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)}}{\Delta x}\
=& \lim_{\Delta x \to 0}\log_a{\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)}^\frac{1}{\Delta x}\
=& \lim_{\Delta x \to 0}\log_a{\left[{\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)}^\frac{x}{\Delta x}\right]^\frac{1}{x}}\
=& \ \log_ae^\frac{1}{x}\
=& \ \frac{1}{x}\log_ae\
=& \ \frac{1}{x\ln a}
\end{split}
\end{align*}
$$

使用重要极限$ \lim\limits_{x\to 0}\left(1+x\right)^\frac{1}{x}=e$即可得出公式.

特别地，当 $ a = e $ 时，$ y’ = (\ln x)’=\frac{1}{x} $.

三角函数

正弦函数

函数：$ y=\sin x $

导数：$ y’=(\sin x)’=\cos x $

推导过程：
$$
\begin{align*}
\begin{split}
y’ =& \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\
=& \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}\
=& \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin x\cos\Delta x+\cos x\sin\Delta x-\sin x}{\Delta x}\
=& \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin x+\cos x\sin\Delta x-\sin x}{\Delta x}\
=& \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\cos x\sin\Delta x}{\Delta x}\
=& \ \cos x
\end{split}
\end{align*}
$$

使用重要极限$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$即可得出公式.

余弦函数

函数：$ y=\cos x $

导数：$ y’=(\cos x)’=-\sin x $

推导过程：
$$
\begin{align*}
\begin{split}
y’ =& \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\
=& \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\cos(x+\Delta x)-\cos x}{\Delta x}\
=& \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\cos x\cos\Delta x-\sin x\sin\Delta x-\cos x}{\Delta x}\
=& \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\cos x-\sin x\sin\Delta x-\cos x}{\Delta x}\
=& \lim_{\Delta x \to 0}\frac{-\sin x\sin\Delta x}{\Delta x}\
=& -\sin x
\end{split}
\end{align*}
$$